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☆─────────────────────────────────────☆ sr (Daisy) 于 (Sun Aug 10 01:04:18 2008) 提到: 无穷多个无穷小的乘积还是无穷小吗？ ☆─────────────────────────────────────☆ windbee (剡溪畔之覆盆子) 于 (Sun Aug 10 01:07:38 2008) 提到: 未必吧【在 sr (Daisy) 的大作中提到: 】 : 无穷多个无穷小的乘积还是无穷小吗？ ☆─────────────────────────────────────☆ sr (Daisy) 于 (Sun Aug 10 01:10:13 2008) 提到: 【在 windbee 的大作中提到: 】 : 未必吧有反例吗 ☆─────────────────────────────────────☆ sr (Daisy) 于 (Sun Aug 10 01:11:36 2008) 提到: 课本上给出一个反例 Fk(n) = 1 n<k k/(n-k+1) n>=k k=1,2,...... 当n-->正无穷时，k/(n-k+1)-->0 但n-->正无穷时，F1(n) *F2(n) *...*Fk(n) =[1/n]*[2/(n-1)]*...*[(n-1)/2]*[n/1] =1 当k-->正无穷时，上式为无穷多个无穷小之积为1，而不是无穷小但是我还有点疑问：n-->正无穷时，(n-1)/2，n/1都-->无穷大，不是无穷小了而且我认为，无穷多个无穷小的乘积应该还是无穷小。因为根据无穷小的定义，无穷小的绝对值<1，无穷多个绝对值小于1的数相乘，乘积的绝对值应该是比他们当中的任意一个都小，因此也是无穷小。不知道这样的想法对不对 ☆─────────────────────────────────────☆ POP (泡泡) 于 (Sun Aug 10 01:15:15 2008) 提到: 【在 sr (Daisy) 的大作中提到: 】课本上给出一个反例 Fk(n) = 1 n<k k/(n-k+1) n>=k k=1,2,...... 当n-->正无穷时，k/(n-k+1)-->0 但n-->正无穷时，F1(n) *F2(n) *...*Fk(n) =[1/n]*[2/(n-1)]*...*[(n-1)/2]*[n/1] =1 当k-->正无穷时，上式为无穷多个无穷小之积为1，而不是无穷小但是我还有点疑问：n-->正无穷时，(n-1)/2，n/1都-->无穷大，不是无穷小了 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~同时K也是无穷啊% 而且我认为，无穷多个无穷小的乘积应该还是无穷小。因为根据无穷小的定义，无穷小的绝对值<1，无穷多个绝对值小于1的数相乘，乘积的绝对值应该是比他们当中的任意一个都小，因此也是无穷小。不知道这样的想法对不对 ☆─────────────────────────────────────☆ king1987 (Ghost|渐行渐远) 于 (Sun Aug 10 01:19:26 2008) 提到: 当然 0乘以0不等于0吗 ☆─────────────────────────────────────☆ ox (小贝|抱抱三人组之小宝贝|东北志责任编辑) 于 (Sun Aug 10 01:19:42 2008) 提到: 无穷小就是0么。。。。【在 king1987 (Ghost|渐行渐远) 的大作中提到: 】 : 当然 0乘以0不等于0吗 ☆─────────────────────────────────────☆ ByrAdmin (最后的战役) 于 (Sun Aug 10 01:35:31 2008) 提到: 显然不是，当n趋向无穷大时，n*(1/n)是多少？最简单的反例。答案是不一定的。可以分类讨论一下【在 sr 的大作中提到: 】 : 无穷多个无穷小的乘积还是无穷小吗？ ☆─────────────────────────────────────☆ POP (泡泡) 于 (Sun Aug 10 01:36:47 2008) 提到: 赞啊【在 ByrAdmin (最后的战役) 的大作中提到: 】 : 显然不是，当n趋向无穷大时，n*(1/n)是多少？最简单的反例。 : 答案是不一定的。可以分类讨论一下 ☆─────────────────────────────────────☆ yegle (一阁@SL小分队) 于 (Sun Aug 10 01:43:18 2008) 提到: 一语惊醒梦中人！【在 ByrAdmin (最后的战役) 的大作中提到: 】 : 显然不是，当n趋向无穷大时，n*(1/n)是多少？最简单的反例。 : 答案是不一定的。可以分类讨论一下 ☆─────────────────────────────────────☆ Canda (好人都叫我加拿大) 于 (Sun Aug 10 02:26:28 2008) 提到: 【在 ByrAdmin 的大作中提到: 】 : 显然不是，当n趋向无穷大时，n*(1/n)是多少？最简单的反例。 : 答案是不一定的。可以分类讨论一下那个n*(1/n)=n个1/n之和 lz问的是n个无穷小的乘积。 ☆─────────────────────────────────────☆ Canda (好人都叫我加拿大) 于 (Sun Aug 10 02:42:16 2008) 提到: 啥是无穷小，值的大小无限趋近于0的变量。 a为一个正无穷小那么 0.1>a （数列的缩放）当n-->无穷时 0.1的n次方-->0 又知 0.1>a a的n次方<0.1的n次方-->0 a为正数， 0<a的n次方 0<a的n次方<0 ==》 a的n次方=0 ☆─────────────────────────────────────☆ zenith (咸鱼) 于 (Sun Aug 10 12:19:46 2008) 提到: 反例：令 a(k,n)=1, n<k-2; a(k,n)=2的(n*n)次幂, n=k-1; a(k,n)=2的(-n)次幂, n>=k; 即第1个序列{a(1,n)} = {1/2,1/4,1/8,1/16,...}，显然是一个无穷小序列。第2个序列{a(2,n)} = {2, 1/4,1/8,1/16,...}，显然是一个无穷小序列。第3个序列{a(3,n)} = {1, 16 ,1/8,1/16,...}，显然是一个无穷小序列。第4个序列{a(4,n)} = {1, 1 ,512,1/16,...}，显然是一个无穷小序列。 ... 上述一族指标为k的序列中，每一个a(k,n)，都是无穷小序列。他们的积是什么呢？对k求积{ a(k,n) }= {1,1,1,1,1,...}，是一个恒为1的序列！无穷小是一个过程，当有无穷多个无穷小乘积的时候，定义中的n>M的M可能趋于无穷大，那么就无法满足了。 ☆─────────────────────────────────────☆ xiaolanhaitj (小懒孩) 于 (Sun Aug 10 12:47:18 2008) 提到: 【在 sr 的大作中提到: 】 : 无穷多个无穷小的乘积还是无穷小吗？显然是,每乘以一个无穷小,表达式的阶数会变大 ☆─────────────────────────────────────☆ xiaolanhaitj (小懒孩) 于 (Sun Aug 10 13:05:42 2008) 提到: 【在 zenith 的大作中提到: 】 : 反例： : 令 a(k,n)=1, n<k-2; : a(k,n)=2的(n*n)次幂, n=k-1; : ................... 反例不成立注意到这个数列的前k项是递增的. 首先请问,如果k为无穷,那么a(k,n)的极限是多少? 如果k有限,那么对于每个收敛数列a(k,n),我们把数列的前k项去掉,那么该数列仍然收敛, 在数列前附加有限项是没有任何意义的答案是显而易见的. ☆─────────────────────────────────────☆ qiaoweikang (Sunday) 于 (Sun Aug 10 13:11:26 2008) 提到: 兄台看书看的不仔细啊. 同济五版极限运算法则那一块说的很明确"有限个无穷小的乘积是无穷小" 如果按你的推理,那干脆把前面的修饰语"有限个"去掉得了. 最好的例子还是你楼上兄台举出的例子. 【在 xiaolanhaitj 的大作中提到: 】 : 显然是,每乘以一个无穷小,表达式的阶数会变大 ☆─────────────────────────────────────☆ xiaolanhaitj (小懒孩) 于 (Sun Aug 10 13:16:01 2008) 提到: 【在 zenith 的大作中提到: 】 : 反例： : 令 a(k,n)=1, n<k-2; : a(k,n)=2的(n*n)次幂, n=k-1; : ................... 最后一句话:无穷小是一个过程，当有无穷多个无穷小乘积的时候，定义中的n>M的M可能趋于无穷大，那么就无法满足了。数列收敛于0的定义是这样的,对于任意正整数b,如果存在M>0,当n>M时,数列|a(n)|<b,该数列收敛于0, 那么任意取收敛数列a(n) = 1/n; 显然当b趋近于0时,M趋进于无穷所以M趋于无穷大不可怕,只要我们能找到这个M 对于举例中来说只要取n=2*k,几个数列的乘积的2*k项以后的就是递减趋于0的数列 ☆─────────────────────────────────────☆ xiaolanhaitj (小懒孩) 于 (Sun Aug 10 13:17:56 2008) 提到: 【在 qiaoweikang 的大作中提到: 】 : 兄台看书看的不仔细啊. : 同济五版极限运算法则那一块说的很明确"有限个无穷小的乘积是无穷小" : 如果按你的推理,那干脆把前面的修饰语"有限个"去掉得了. : ................... 貌似是和吧? ☆─────────────────────────────────────☆ qiaoweikang (Sunday) 于 (Sun Aug 10 13:21:02 2008) 提到: 我的书错了? 那你看看你的书P43推论2 【在 xiaolanhaitj 的大作中提到: 】 : 貌似是和吧? ☆─────────────────────────────────────☆ xiaolanhaitj (小懒孩) 于 (Sun Aug 10 13:23:39 2008) 提到: 【在 qiaoweikang 的大作中提到: 】 : 我的书错了? : 那你看看你的书P43推论2 去年就不看了,汗....我正在百度这个问题..貌似比较复杂 ☆─────────────────────────────────────☆ qiaoweikang (Sunday) 于 (Sun Aug 10 13:27:17 2008) 提到: ....百度.... 【在 xiaolanhaitj 的大作中提到: 】 : 去年就不看了,汗....我正在百度这个问题..貌似比较复杂 ☆─────────────────────────────────────☆ xiaolanhaitj (小懒孩) 于 (Sun Aug 10 13:28:15 2008) 提到: 得出结论,这个问题不是考研范围.... ☆─────────────────────────────────────☆ xiaolanhaitj (小懒孩) 于 (Sun Aug 10 13:31:37 2008) 提到: 真的困惑了~~~~~~ [upload=1][/upload]

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