百年数学难题被破解 —— 中国科学家朱熹平曹怀东完证庞加莱猜

发信人: manifold (Lie), 信区: Mathematics 标 题: 庞加莱猜想简述 发信站: 浙江大学海纳百川站 (Sat Apr 29 10:10:03 2006) 简述： 庞加莱猜想、Thurston几何化猜想 及Hamilton的 Ricci流 Stephen SMALE 解决4维以上广义庞加莱猜想获1966菲尔兹奖 Michael H. FREEDMAN 解决4维广义庞加莱猜想获1986菲尔兹奖 但本来的庞加莱猜想未解决。 Clay 数学所将其列为7个百万美元大奖问题之一 （http://www.claymath.org/millennium/）。 Riemann 对几何的认识适用于任何微分流形：我们总可以给微分流形赋予一个 Riemann度量，从而研究上面的几何。Klein 的观点就不是那么普适了，因为 Klein 意义下的几何对度量的要求非常特殊，并不是所有的流形上都能有这样的几何。不 过二维曲面上都可以有 Klein 式的几何，这就是 Riemann, Klein, Poincar’e, Koebe 等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。举例子说，在可定向闭 曲面里，S^2上当然是球面几何，T^2上则可赋予欧氏几何，双环面等更复杂的曲面 上可以有双曲几何。 三维以上就没有这么好运了，Thurston的天才创见就在于：提出了单值化定理 在三维情形的类比---Thurston 的几何化猜想(geometrization conjecture)。 Thurston 本人对 Haken流形证明了他的猜想，这已经涵盖了绝大多数情形。但他的 证明相当艰深，强烈地依赖于几何直观。Thurston 本人只是在 Princeton 的课堂 上讲授这一证明，并将未正式出版的讲义在圈内散发。光直接向他索要讲义的就超过 一千人，间接复印的则更多，可见他的工作影响之巨。Thurston 后来也曾经想正式 发表他的证明。他计划写一系列共7篇文章，第一篇于1981年投出，1986年才得以发 表，可见其艰深晦涩。第二篇只有手稿在圈内流传，后面的几篇甚至根本没有出现。 Thurston 本人曾说，他对三维流形的感觉是写不出来的。这种述而不作的态度 引来包括 J. P. Serre 在内的一些推崇严格论证的数学家的批评。但这并没有妨碍 Thurston 获得1983年的 Fields 奖。数学当然需要严格性，但像 Thurston 这样直 觉远超乎常人的天才人物，根本无必要把精力放在琐碎细节的验证上。这些体力活 自然有很多人抢着替他干，其中包括许多卓有成就的数学家。像 John Morgan 就曾 给出 Haken 流形的几何化定理的较严格的不完全证明，McMullen 以别的方法也给过 严格证明。同样的事情也发生在 Thurston 其余的几个重要定理上。直至今日，他那 些未严格证明的定理还成为不少人论文的源泉。 需要指出，在几何化猜想之前，Thurston 已经因为他在三维流形上的foliation 方面的工作获得几何、拓扑方面的最高奖 Veblen 奖。而且他的文风一直以简洁清 晰著称，这使他在圈内获得良好的声誉。所以如果你只是一个初出茅庐的毛头小伙， 你就必须做一些非常实实在在的工作以立足；只有当你成为 Thurston, Gromov 那 样的大师时，你才有资格指点江山、勾画蓝图，而把具体工作留给别人去做。 Thurston 几何化猜想可以直接推出 Poincar’e 猜想，最近对 Poincar’e 猜 想的突破就从这里开始。但 Thurston 工作的重要性并不光是能推出 Poincar’e 猜想。因为 Poincar’e 猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题，而 Thurston 描述出了对所有三维流形进行分类的大纲。而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双 曲几何)、Kleinian群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。在 他之前，低维拓扑虽然也做得很热闹，也有 Milnor 等大人物涉足其中，但毕竟只是 拓扑里一个偏僻的分支，引不起非拓扑学家的兴趣。 Thurston 等人的工作之后，低 维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位，引起广泛关注。 要想彻底证明 Thurston 的几何化猜想，传统的几何、拓扑方法已经无能为力 了，需要发展新的方法。1982年，Richard Hamilton (并非那位特别有名的19世纪 爱尔兰数学家 Sir William Rowan Hamilton) 在中提出了 Ricci flow 的概念， 给几何化猜想带来一丝曙光。 １。这项工作是朱熹平过去半年（Sep. 2005 - Mar. 2006) 受丘成桐（Shing-Tung Yau） 之邀访问Harvard 大学期间作出的。 http://www.math.harvard.edu/people/ZhuXi-Ping.html ２。最主要的贡献仍是Hamilton和Perelman的。该项工作是补大漏洞。 G.Perelman 在 R. Hamilton 等工作的基础上，对完成整个庞加莱猜想作出了原创性突破 （主要是在neckpinch singularity 和其它singularities)， http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0211/0211159.pdf http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0303/0303109.pdf http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0307/0307245.pdf 但Perelman的工作存在着较大和较多的漏洞(gaps)。且其中确有一些错误（现已补好）。 其中一个最大的漏洞是如何能在“有限时间”内完成几何切割。其实过去每四年出现一次 的由几何拓扑家给出的错误证明都错在此。 G.Perelman 本人看样子是知道这些漏洞的， 因为 a. 他没有大声的宣布而是很小声的说（whispered）他解决了几何化猜想（包含庞加莱猜 想），且他选择在公布他的工作不久出来演讲，因其时大家还提不出实质性的问题，他从 那后不出来，并拒绝任何演讲邀请拒绝回答问题，现在大家都在等着问他问题。还未看朱 熹平，曹怀东的证明，估计是他们补全了Perelman的证明漏洞(gaps)，特别是 “有限时间内完成几何切割”。如是，本身将是较大的成就。 b. 他只在预印本网站公布了他的文章未投稿，所以他可以避免回答审稿人问题。 ３。庞加莱猜想、Thurston几何化猜想拓扑分类的Ricci流证明将是丘成桐（Shing-Tung Yau）等创立的“几何分析”的最大成就之一。丘他本人最早意识到Ricci流的重要性，（ 比如在Hamilton 创立 Ricci流之初（１９８２）令他的几个中国学生跟Hamilton学，向H amilton建议引进几何切割来解决拓扑分类等），在 Hamilton１９９７关于几何切割的文 章发表后，Hamilton方案的可行性已比较清楚了，他确实是在１９９７年说过解决问题时 机已成熟并大力推动过相关研究

图片说明:丘成桐（右二）向媒体记者介绍庞加莱猜想的原理。 图片说明：世界著名数学家、菲尔兹奖获得者丘成桐教授介绍庞加莱猜想的原理。 东方网6月4日消息：国际数学界关注了上百年的重大难题——庞加莱猜想，终于被科学家完全破解。昨天，哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐在中国科学院 晨兴数学研究中心宣布：在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明庞加莱猜想。 “这就像盖大楼，前人打好了基础，但最后一步——也就是‘封顶’工作是由中国人来完成的。”丘成桐说：“这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。” “这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明，成果极其突出。”数学家杨乐说。在美国出版的《亚洲数学期刊》6月号以专刊的方式，刊载了长达300多页、题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿·佩雷尔曼理论的应用》的长篇论文。 100多年来，无数的数学家关注并致力于证实庞加莱猜想。20世纪80年代初，美国数学家瑟斯顿教授因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。之后，美国数学家汉密尔顿在这个猜想的证明上也取得了重要进展。2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了解决这一猜想的要领。 运用汉密尔顿·佩雷尔曼的理论，朱熹平和曹怀东第一次成功处理了猜想中“奇异点”的难题，发表了300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。从去年9月底至今年3月，朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学，以每星期3小时的时间——连续20多个星期、共约70个小时——向包括哈佛大学数学系主任在内的5位数学家进行讲解，回答了专家们提出的一系列问题。 丘成桐指出，这一证明意义重大，将有助于人类更好地研究三维空间，对物理学和工程学都将产生深远的影响。 庞加莱猜想百年悬疑 任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球——这就是法国数学家庞加莱于1904年提出的猜想。庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨·米尔理论等一样，被并列为七大数学世纪难题之一。2000年5月，美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。 图片说明：低调学者朱熹平 1982年毕业于中山大学数学系，1984年在中山大学数学系取得硕士学位，1989年在中国科学院武汉数学物理研究所取得博士学位。现任中山大学数学系教授、博士生导师，数学与计算科学学院院长，兼任广东省数学学会理事长，中国科学院晨兴数学中心学术委员会委员，浙江大学数学科学研究中心顾问。1991年获中国科学院自然科学二等奖，1997年入选教育部“跨世纪人才培养计划”，1998年获国家杰出青年基金，列入1999年度国家人事部“百千万人才工程”第一、第二层次人选，2001年被聘为教育部“长江学者奖励计划”特聘教授，2004年获得全球华人数学家大会颁发的晨兴数学银奖。朱熹平长期从事数学科学的教学与研究和国际前沿核心数学中几何分析领域的研究，在几何热流研究方面作出重要贡献。